Die eulersche Zahl

Der im 18. Jahrhundert lebende Mathematiker Euler entdeckte die “Eulersche Zahl”, während er versuchte, bei der Zinseszinsrechnung den momentanen Zins zu errechnen. Er ging von der Voraussetzung aus, dass der Zins ständig gutgeschrieben wird und gleichzeitig immer wieder mit verzinst wird. Dabei ermittelte er eine Zahl e mit dem Wert e = 2,718 …, welche sich durch eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung auszeichnet.

Eine solche reelle Zahl nennt man irrational. Weiterhin ist die “Eulersche Zahl” auch transzendent, das heißt, sie ergibt sich nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung. In der Mathematik gilt die “Eulersche Zahl” als wichtige Konstante neben anderen Konstanten, wie z.B. der Kreiszahl “Pi”. Der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion basieren auf der “Eulerschen Zahl”.

Definition

Die “Eulersche Zahl” wird als Grenzwert der Folge (1 + 1/n)hoch n definiert.

Leonhard Euler entdeckte die Eulersche Zahl

Leonhard Euler entdeckte die Eulersche Zahl

Herleitung

Intervallschachtelung

Die Grenzwertbildung funktioniert nach dem Prinzip der Intervallschachtelung. Das heißt, man wählt aus einem Intervall ein kleineres Intervall, das vollständig in dem vorherigen liegt, und verfährt so weiter, bis die Intervalle gegen null streben. Der Grenzwert ist eine in allen Intervallen enthaltene reelle Zahl.

Mathematische Darstellung

Bei der Grenzwertbildung wird der Term (1 + 1/n) n mal miteinander multipliziert, wobei n gegen unendlich strebt.
Beispiele:

- n = 2; (1 + 1/2) x (1 + 1/2) = 1,5 x 1,5 = 2,25 …
.
.
- n = 10000; (1 + 1/10000) hoch 10000 = 1,0001 hoch 10000 = 2,718 …

Man sieht, je größer n wird, desto mehr nähert sich der Zahlenwert der “Eulerschen Zahl”, die sich bei n = unendlich ergibt.

Vergleich der Konvergenzgeschwindigkeiten

Die Folge (1 + 1/n)hoch n ist monoton steigend, wobei der Term 1/n als Nullfolge fallend gegen null konvergiert. Daher sollte man zunächst meinen, dass der Grenzwert 1 ist. Infolge der höheren steigenden Konvergenzgeschwindigkeit der Gesamtfolge im Vergleich zur fallenden Nullfolge resultiert jedoch die “Eulersche Zahl” als Grenzwert.

Zusammenfassung

Die “Eulersche Zahl”:

  • ist eine irrationale und transzendente reelle Zahl
  • ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion
  • wird durch Grenzwertbildung definiert
  • findet Verwendung u.a. bei der Zinseszins- und der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Eulersche Zahl in Excel anwenden

In MicroSoft Excel besteht grundsätzlich die Möglichkeit, den Zellen bzw. Spalten anstatt bestimmte Einzelwerte, Buchstaben, Worte oder Kommentare auch mathematische Verknüpfungen mit den Zahlen anderer Zellen zuzuordnen. Das ermöglicht eine einfache Berechnung beliebiger Funktionen, z. B. die Sinusfunktion, Parabel, oder eben auch die e-Funktion.

Als Beispiel bearbeiten wir hier die einfache Funktion f(t) = A exp(-omega t)

Dabei ist A eine Anfangs-Amplitude an der Stelle t = 0, und omega sei eine Kreisfrequenz im Sinne von 2 pi f (f = Frequenz in Hz)

Dazu schreiben wir den Wert von A (z. B. 15) in die erste Zelle (A-1) unserer Excel Tabelle, die wir inzwischen geöffnet haben. Die Frequenz f (z. B. 50 Hz) schreiben wir mal in die darunter liegende Zelle (A-2). Dazu muss man aber wissen, dass 50 Hz 50 Schwingungen pro Sekunde bedeuten, also auf der Zeitachse ein kleines Intervall von 0,02 Sekunden sind. Diese Zahl 0,02 (mit der eigentlichen Maßeinheit 1/sec) tragen wir also in die Zelle (A-2) ein.

Darunter starten wir mit unserer Tabelle, in dem wir in die Zelle (A-3) ein t eintragen für die Zeitwerte und daneben in die Zelle (B-3) schreiben wir “f(t)” oder “Funktionswert”.

Erstellen der Zeitreihe

Nehmen wir einmal an, die Zeitreihe, die wir nun erzeugen möchten, soll reichen von t1 = -20 sec bis t2 = +20 sec, und es sollen Funktionswerte erzeugt werden im Zeitabstand von 0,1 sec, also bei diesem Beispiel insgesamt 401 Wertepaare. Da es sehr mühsam ist, selbst per Hand eine Spalte zu schreiben mit -20.0, -19.9, -19.8, -19.7, ….., bis +20.0, erzeugen wir uns zunächst eine solche Spalte beginnend mit der Zelle (A-4), wo wir den Startwert -20,0 eintragen. Direkt darunter in die Zelle (A-5) schreiben wir: =A4+0,1 was zu dem Ergebnis -19,9 in dieser Zelle führt.

Diese Zelle mit dieser Anweisung, die sich jeweils auf die darüber liegende Zelle bezieht, kopieren wir nun diese ganze Spalte entlang beginnend von Zelle (A-6) bis zur Zelle (A-404). So einfach haben wir die Zeit-Stützpunkte von -20 bis +20 in Abständen von 0,1 erzeugt.

Die Funktionswerte

Zum Schluss erzeugen wir die Funktionswerte, die zu jedem Zeitwert gehören. Das geht ganz ähnlich wie bei der A-Spalte. In die Zelle (B-4) schreiben wir die Funktion:

=$A$1*EXP(-2*3,141593*$A$2*A4)

Dabei bedeutet $A$1 die Amplitude, die in der Zelle (A-1) steht. Die $-Zeichen sind deshalb notwendig, um Excel darauf hin zu weisen, dass genau dieser Zellenwert konstant für alle anderen Funktionswerte verwendet werden soll. Mit anderen Worten, der nächste Funktionswert soll nicht gleitend mit dem Wert von Zelle (A-2) arbeiten, sondern sich auch wieder fest auf Zelle (A-1) beziehen.

EXP steuert die e-Funktion “e hoch” an.

In ihrem Argument stehen dann erst einmal die Faktoren 2 pi als konstante Zahlen, gefolgt von $A$2, also dem stets fest einzubauenden Zeitschrittwert 0,02, und dann kommt der stetig aufsteigende, variable Zeitwert t der linken A-Spalte.

In Zelle (B-4) erscheint nun der Funktionswert 185,18…
Diese Funktionsanweisung kopieren wir nun wieder in alle Zellen der B-Spalte beginnend in (B-5) bis hinunter nach (B-404). In der letzten Zelle (B-404) erscheint dann der Funktionswert 1,215, und an der Zeitstelle t=0 finden wir den vorgegebenen Amplitudenwert 15.

Insgesamt betrachtet fallen die Funktionswerte erst einmal relativ steil ab, und zum Ende hin krümmt sich die Funktion in eine eher horizontale Richtung und nähert sich asymptotisch einem Endwert an, so wie es zu erwarten ist von einer e-Funktion mit negativem Exponenten. Hier hat Excel wieder ganze Arbeit geleistet.

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